復變函數小結

復變函數小結

關于前兩章復數和解析函數部分這里不再總結。復數一塊掌握復數表示的三種形式和相關運算。解析函數一塊關鍵是要掌握C-R方程和解析及可導的判斷，掌握指數函數、對數函數、冪函數的計算及性質。復變函數積分1參數方程。

2柯西積分定理(條件：f(z)在單連通區(qū)域內解析)。

推論1:積分與路徑無關。(可使用原函數的方法)推論2:閉合曲線上的積分為0。.

3復合閉路定理(條件:在多連通內及邊界上解析)4高階導數公式(條件:在單(多)連通內及邊界上解析)

說明了解析函數區(qū)域內部的點處的值可以由邊界處的值決定；解析函數具有任意階導數，各階導函數仍解析。

級數

1復數數列收斂的充要條件:實部、虛部數列均收斂。

2復數項級數收斂的充要條件:實部、虛部實數項級數均收斂。3絕對收斂與條件收斂。判斷絕對收斂的步驟:

實部虛部分離。直接取模。

判斷收斂的一般方法：收斂的必要條件、比較判別法、比值判別法或根值判別法。一般是先判斷是否為絕對收斂，再判斷是否條件收斂(注意萊布尼茲判別法的使用)。4冪級數斂散性判斷及收斂半徑的求法：阿貝爾定理(不缺項)、比值判別法(缺項)5泰勒級數(記住常用的泰勒級數:exp(x),Ln(x),1/(1-x),sin(x),cos(x)…)6洛朗級數

洛朗級數存在條件：f(z)在圓環(huán)域內r重點記憶：

傅利葉變換及其逆變換的定義。

單位脈沖函數的篩選性質(一般形式)。單位階躍函數u(t)的傅氏變換。正余弦函數的傅氏變換。

e的傅氏變換。

傅氏變換的線性性質(注意tf(t)的傅氏變換為-F’(s)/i)、位移性質(兩個公式)、微分性質、積分性質。

卷積的定義、計算公式、卷積定理(兩個公式)注：計算卷積要注意成立區(qū)間的討論。拉普拉斯變換重點記憶：

拉普拉斯變換及其逆變換的定義。單位脈沖函數的篩選性質(一般形式)。冪函數tm的拉氏變換。

單位階躍函數u(t)的拉氏變換。

指數函數e的拉式變換。正余弦函數的拉氏變換。拉氏變換的線性性質、位移性質(兩個公式，其中一個個公式也叫延遲性質)、微分性質(注意tf(t)的拉普拉斯變換為-F’(s))、積分性質(注意f(t)/t的拉式變換)。卷積的定義、計算公式、卷積定理。

掌握用反演積分公式計算f(t)。

注：求解拉式逆變換的三種方法：直接法、卷積、留數。掌握用拉式變換法求解微分方程。

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擴展閱讀：《復變函數》總結

復變小結

1.幅角（不贊成死記，學會分析）

yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.對于P12例題1.11可理解為高中所學的平面上三點（A,B,C）共線所滿足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA

c.對于P15例題1.14中可直接轉換成X和Y的表達式后判斷正負號來確定其圖像。

d.判斷函數f(z)在區(qū)域D內是否連續(xù)可借助課本P17定義1.84.解析函數，指數，對數，冪、三角雙曲函數的定義及表達式，能熟練計算，能熟練解初等函數方程

a.在某個區(qū)域內可導與解析是等價的。但在某一點解析一定可導，可導不一定解析。

b.柯西黎曼條件，自己牢記:（注意那個加負那個不加）c.指數函數:復數轉換成三角的定義。d.只需記�。篖nz=ln[z]+i(argz+2k)

e.冪函數：底數為e時直接運算（一般轉換成三角形式）當底數不為e時，w=za=eaLnz(冪指數為Ln而非ln)

ieeii,,e能夠區(qū)分：,i的計算。

f.三角函數和雙曲函數：

eizeizeizeizcos只需記�。簔,sinz.

22i

其他可自己試著去推導一下。

eyeycosiychy2(2.15)及eyeysiniyishy2i

反三角中前三個最好自己記住，特別ArctgziLn1iz

21iz因為下一章求積分會用到5.復變函數的積分

(arctanz),1z21(如第三章的習題9)a.注：只有當函數解析即滿足柯西-黎曼公式時求積分才與路徑無關只與出沒位置有關。（勿亂用）例如:zdz與路徑無關。而zdz與路徑有關。

ccb.柯西-古薩基本定理：當函數f(z)在以簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時：

重要公式

f(z)dz0C2πi,n0,dzn1

(zz0)0,n0.|zz0|rc.柯西積分公式和高階導數公式及其應用于計算積分：

1f(z)

dz.(3.17)2πizzf(z0)0C0!f(f(n)(z)nz)dz(3.20)

d.調和函數：

22n12πi(zz)0Cn1,2,。xy

一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。6.級數

(x,y)調和:2a.熟知課本P59定理4.2及其推導（其中1最重要）性質。b.阿貝爾定理:判斷收斂和發(fā)散區(qū)間。

c.冪級數的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數級數）

d.泰勒級數：n0

f(z)cn(zz0)n1(n)成立,其中cnf(z0),n0,1,2,.

n!五個重要初等函數展開式：

2znez1zz.(4.8)2!n!

2n1z3z5znsinzz(1)3!5!(2n1)!(4.10)

z2z4z2nn(cosz12!4!1)(2n)!

(4.11)

其余可由式：

11zz2(1)nzn,|z|1.1z直接推導。（注意各展開式的[z]取值范圍）

e.洛朗展開式:與泰勒展開式的主要區(qū)別在于其包含Z的負次數方冪。泰勒展開式是洛朗展開式的特殊形式。（即當洛朗展開式中奇點為可去奇點時展開式為泰勒形式）f.零點，奇點，極點

零點:即使得函數f(z)=0的點。奇點：即使得函數f(z)無意義的點。（P82定理4.18的三條關于孤立奇點的等價式實為可去奇點的特征）奇點又分為：可去奇點，本性奇點，一般奇點。可去奇點：即洛朗展開式中不存在Z的負次數方冪。本性奇點：即展開式中存在Z的負無窮次方冪。一般奇點：即展開式中存在Z的有限次負次數方冪。極點：即為奇點中除去可去奇點后的所有奇點。極點一定是奇點，但奇點不一定是奇點。

（奇點容易判斷，極點可借助P83定理4.19判斷同時可以學會判斷是幾階極點，對于第五章中求留數有用）P84定理4.22：極點和零點的關系。7.留數

a.留數定理：Res[f(z),z0]12if(z)dzC(5.3)利用課本P93-94三種情形及第五章中判斷極點的階數求留數（沒什么特殊方法，希望大家通過多練來掌握）

f(z),b.利用留數定理求積分：z)dz2πiRes[zk].(5.7)f(Ck1n有些情況下利用留數和定理：

Res[f(z),]Res[f(z),zk]k1n12πiCf(z)dz12πiCf(z)dz0.更便于求解

11特殊轉換：Res[f(z),]Resfzz2,0c.用留數計算實積分：

2π

0R(cos,sin)d形如：的積分，一般令z=ei

使用條件：R(x,y)變量x，y的有理函數，并且在單位圓上分母不為零。

形如R(x)dx的積分

使用條件：函數R(x)是x的有理函數,而分母的次數至少比分子的次數高二次,并且R(x)在實軸上沒有孤立奇點時,積分是存在的.

形如：

eixf(x)dx的積分

使用條件:其中f(z)在Imz≥0內除可能有有限各孤立奇點外處處解析，并且當z在Imz≥0上時P104引理5.3中（5.15）式成立。（具體理解大家可參考課本中的例題）老師所給劃題目：P22-例、P26-例、P33-3

P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相關例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）P113-5、相關例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相關例子

以上基本上是理論的東西。有些東西僅為個人理解，如有問題可提出來。例題大家可參考吳林峰發(fā)到群郵箱內的試卷。里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。復變看書是作用不是很大，大家還是多做做題練習一下，效果會更好。

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